Question

設

i

、

j

為直角坐標平面內x、y軸正方向上的單位向量，若向量

p

=(x+m)

i

+y

j

，

q

=(x-m)

i

+y

j

，（x，y∈R，m≥2），且|

p

|-|

q

|=4．
（1）求動點M（x，y）的軌跡方程？并指出方程所表示的曲線；
（2）已知點A（0，1}，設直線l：y=

1

2

x-3與點M的軌跡交于B、C兩點，問是否存在實數m，使得

AB

•

AC

=

9

2

？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量的表達式，可推斷出點M（x，y）到兩個定點F₁（-m，0），F₂（m，0）的距離之差4．討論m的值，根據雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線，進而根據c和a，求得b，則其方程可得．
（2）設將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用向量數量積的坐標公式即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）∵向量

p

=(x+m)

i

+y

j

，

q

=(x-m)

i

+y

j

，（x，y∈R，m≥2），且|

p

|-|

q

|=4，
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（-m，0），F₂（m，0）的距離之差4．
由定義得：
當m=2時，M的軌跡是一條射線，方程為：
y=0，（x≥2）…（2分）
當m＞2時，M的軌跡是一支雙曲線，方程為：
 

x2

4

-

y2

m 2-4

=1（x≥2）． …（6分）
（2）∵直線l與M點軌跡交于B、C兩點，
∴M的軌跡方程為：
 

x2

4

-

y2

m 2-4

=1（x≥2）．
由

y= 1 2 x-3 x2 4 - y2 m 2-4 =1

⇒（m²-5）x²+12x-36-4（m²-4）=0，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-12

m 2-5

，x₁x₂=

-4m 2-20

m 2-5

，

AB

•

AC

=

9

2

，
∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=

9

2

，
∴

5

4

x₁x₂-2（x₁+x₂）+16=

9

2

，
∴m²=9，m=±3，
∵m≥2，∴m=3．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，