Question

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經過點，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，可求得a=，b=1，從而可得橢圓M的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意，直線AB有斜率，可分直線AB的斜率k=0與直線AB的斜率k≠0討論，利用弦長公式，再結合基本不等式即可求得各自情況下S_△AOB的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓+=1（a＞b＞0）的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點，
∴a=，b=1，橢圓M的方程為：+y²=1…4分
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB的垂直平分線經過點（0，-），顯然直線AB有斜率，
當直線AB的斜率為0時，AB的垂直平分線為y軸，則x₁=-x₂，y₁=y₂，
所以S_△AOB=|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=|x₁|•==，
∵≤=，
∴S_△AOB≤，當且僅不當|x₁|=時，S_△AOB取得最大值為…7分
當直線AB的斜率不為0時，則設AB的方程為y=kx+t，
所以，代入得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
當△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有兩個不同的實數解；
又x₁+x₂=，=…8分
所以=，又=-，化簡得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原點到直線的距離為d=，
|AB|=|x₁-x₂|=•，
所以S_△AOB=|AB||d|=••，
化簡得：S_△AOB=…12分
∵0＜t＜4，所以當t=2時，即k=±時，S_△AOB取得最大值為．
綜上，S_△AOB取得最大值為…14分
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查橢圓的標準方程，著重考查方程思想分類討論思想與弦長公式，基本不等式的綜合運用，考查求解與運算能力，屬于難題．