Question

已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求（為原點(diǎn)）面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(I)  ； (II)  ．

【解析】

試題分析：(I)由圖形的對(duì)稱性及橢圓的幾何性質(zhì)，易得 ，進(jìn)而寫出方程； (II) ΔAOB的面積可以用 ，所以本題需要用弦長(zhǎng)公式表示AB的長(zhǎng)度，用點(diǎn)到之間的距離公式表示坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離，而這些都需要有直線的方程作為前提條件。所以本題應(yīng)先考慮設(shè)出直線AB的方程．此外，設(shè)方程的過程中，注意對(duì)于特殊情形的討論．

試題解析：

(I)因?yàn)闄E圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，

一內(nèi)角為 的菱形的四個(gè)頂點(diǎn),

所以,橢圓的方程為                                      4分

(II)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112468695542261_DA.files/image012.png">的垂直平分線通過點(diǎn)， 顯然直線有斜率，

當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸,則

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112468695542261_DA.files/image018.png">，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為        7分

當(dāng)直線的斜率不為時(shí),則設(shè)的方程為

所以，代入得到

當(dāng),             即                         

方程有兩個(gè)不同的解

又，                                        8分

所以，

又，化簡(jiǎn)得到                      

代入，得到                                                     10分

又原點(diǎn)到直線的距離為

所以

化簡(jiǎn)得到                                              12分        

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501110397954189/SYS201309150112468695542261_DA.files/image035.png">，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值

綜上，面積的最大值為 ．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．