Question

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點．

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經過點，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

解答：

解：（Ⅰ）因為橢圓+=1（a＞b＞0）的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點，

∴a=，b=1，橢圓M的方程為：+y²=1…4分

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB的垂直平分線經過點（0，﹣），顯然直線AB有斜率，

當直線AB的斜率為0時，AB的垂直平分線為y軸，則x₁=﹣x₂，y₁=y₂，

所以S_△AOB=|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=|x₁|•==，

∵≤=，

∴S_△AOB≤，當且僅不當|x₁|=時，S_△AOB取得最大值為…7分

當直線AB的斜率不為0時，則設AB的方程為y=kx+t，

所以，代入得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²﹣3=0，

當△=4（9k²+3﹣3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有兩個不同的實數解；

又x₁+x₂=，=…8分

所以=，又=﹣，化簡得到3k²+1=4t②

代入①，得到0＜t＜4，…10分

又原點到直線的距離為d=，

|AB|=|x₁﹣x₂|=•，

所以S_△AOB=|AB||d|=••，

化簡得：S_△AOB=…12分

∵0＜t＜4，所以當t=2時，即k=±時，S_△AOB取得最大值為．

綜上，S_△AOB取得最大值為…14分