Question

【題目】一個盒子中裝有大小相同的小球個，在小球上分別標有1，2，3…，的號碼，已知從盒子中隨機取出兩個球，兩球號碼的最大值為的概率為．

（Ⅰ）盒子中裝有幾個小球？

（Ⅱ）現從盒子中隨機地取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續自然數的個數的最大值為隨機變量（如取標號分別為2，4，6，8的小球時；取標號分別為1，2，4，6的小球時；取標號分別為1，2，3，5的小球時），求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）8個；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意計算出兩球號碼的最大值為的情況共有種，利用古典概型概率公式可得，即可得解；

（Ⅱ）由題意，未被選中的4個小球會形成5個空位（包括兩端），取出的小球相當于要插入這些空位中（可以多個小球插入同一空位），將分為“4個小球僅有2個小球的編號連續”和“4個小球有2個小球的編號連續，另外2個小球的編號也連續”兩種情況分類計算，最后由古典概型概率公式即可得解.

（Ⅰ）從盒子中隨機取出兩個球，兩球號碼的最大值為的情況共有種，

則，解得，

所以盒中共有8個小球；

（Ⅱ）由題意，未被選中的4個小球會形成5個空位（包括兩端），取出的小球相當于要插入這些空位中（可以多個小球插入同一空位），

表示取出的4個小球的編號連續的個數的最大值為2，可分為兩類：

①4個小球僅有2個小球的編號連續，則要在5個空位中選出三個，其中一個放入2個小球，所以共有取法種；

②4個小球有2個小球的編號連續，另外2個小球的編號也連續，則只需在5個空位中選出兩個，所以共有取法種；

綜上，.