Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.

（1）證明:平面

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，由菱形的性質以及中位線，得，由平面平面，且交線，得平面，故而，最后由線面垂直的判定得結論.

（2）以為原點建平面直角坐標系，求出平面平與平面的法向量

，，最后求得二面角的余弦值為.

解：（1）連結

∵ ，且是的中點，

∴

∵平面平面，

平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴

又為菱形，且為棱的中點，

∴

∴.

又∵，平面

∴平面.

（2）由題意有，

∵四邊形為菱形，且

∴

分別以，，所在直線為軸，軸，軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則

設平面的法向量為

由，得，

令，得

取平面的法向量為

∴

二面角為銳二面角，

∴二面角的余弦值為