Question

（2013•威海二模）△ABC中，∠B是銳角，BC=2，AB=

3

，已知函數f(x)=|

BC

+

BA

|2+2cosx．
（Ⅰ）若f（2B）=14，求AC邊的長；
（Ⅱ）若f(B+

π

2

)=1，求tanB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得函數的解析式，代入條件可得關于cosB的方程，解之可得cosB，由余弦定可得AC的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinB-2

3

cosB=3，平方，同除cos²B可得關于tanB的方程，8tan2B+4

3

tanB-3=0，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f(x)=|

BC

+

BA

|2+2cosx=4+3+2×2×

3

cosB+2cosx，
化簡可得f(x)=7+4

3

cosB+2cosx--------------------------（2分）
∴f(2B)=7+4

3

cosB+2cos2B=14，
整理得：4cos2B+4

3

cosB-9=0--------------------------（4分）
解得cosB=

3

2

或cosB=

-3 3

2

（舍去）
∴AC2=BC2+BA2-2BC•BAcosB=4+3-4

3

×

3

2

=1
∴AC=1--------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(B+

π

2

)=7+4

3

cosB-2sinB=1
整理得：sinB-2

3

cosB=3--------------------------（8分）
將上式平方得：sin2B-4

3

sinBcosB+12cos2B=9，
∴

sin2B-4 3 sinBcosB+12cos2B

sin2B+cos2B

=9，
同除cos²B可得

tan2B-4 3 tanB+12

tan2B+1

=9--------------------------（10分）
整理得：8tan2B+4

3

tanB-3=0，解得tanB=

- 3 ±3

4

，
∵∠B是銳角，∴tanB=

3- 3

4

．--------------------------（12分）

點評：本題考查余弦定理的應用，以及向量的數量積的運算和同角三角函數的基本關系，屬中檔題．