Question

【題目】設 是定義在 上的奇函數，且對任意實數 ，恒有 .當 時， .
（1）求證： 是周期函數；
（2）當 時，求 的解析式；
（3）計算 .

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ， 是周期為 的周期函數．
（2）解：當 時， ，由已知得 ．

又 是奇函數， ， ，

又當 時， ， ，

又 是周期為 的周期函數，

，

從而求得 時， ．

（3）解： ，又 是周期為 的周期函數，

又 ，

．

【解析】（1）根據題意利用函數的周期即可求出結果。（2）由題意結合函數的奇偶性即可求出 f ( x 4 )的解析式再放假函數的周期為4故可得到當 x ∈ [ 2 , 4 ] 時f ( x )的解析式。（3）利用函數的周期遞推即可得出結果。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．