Question

【題目】已知（）．

（Ⅰ）判斷當時的單調性；

（Ⅱ）若，（）為兩個極值點，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在定義域上為單調增函數；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先利用換元法求出，然后求函數的導數，結合函數單調性和導數的關系進行判斷即可．

（Ⅱ）根據極值的定義得到有兩個不相等的正實數根，，利用根與系數之間的關系進行轉化證明即可．

（Ⅰ）因為（），

所以，（）．，

當時，，恒成立．

于是，在定義域上為單調增函數．

（Ⅱ）證明：，

由題設知，有兩個不相等的正實數根，，

則，即，得

而 ，

又，

故欲證原不等式等價于證明不等式：

也就是要證明：對任意，有

令，由于，并且，

當時，，則在上為減函數；

當時， ，則在上為增函數．

則在上有最大值，即，故原不等式成立．