Question

已知橢圓與雙曲線x2-

y2

3

=1有公共的焦點，且橢圓過點P（0，2）．
（1）求橢圓方程的標準方程；
（2）若直線l與雙曲線的漸近線平行，且與橢圓相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線x2-

y2

3

=1 的焦點坐標分別為（-2，0）（2，0），即c=2；設出橢圓的標準方程，利用橢圓過點P（0，2），求出a²，b²；
（2）雙曲線漸近線方程是y=±

3

x，設直線l：y=±

3

x+m，根據直線與橢圓相切解出m的值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）．
雙曲線x2-

y2

3

=1 的焦點坐標分別為（-2，0）（2，0），
∴橢圓焦點坐標分別為（-2，0）（2，0），∴c=2，即a²=b²+4，
又橢圓過點P（0，2），則0+

4

b2

=1，
∴b²=4，得a²=8，
∴所求橢圓方程的標準方程為 

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）雙曲線漸近線方程：y=±

3

x，
設直線l：y=±

3

x+m，
代入橢圓方程得：7x²±4

3

mx+2m²-8=0，
由相切得：△=48m²-28（2m²-8 ）=0，解得m=±2

7

 
∴直線l的方程是：y=±

3

x±2

7

．

點評：本題考查了雙曲線的簡單性質與橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓的位置關系，解答的關鍵是利用直線與橢圓相切的條件△=0求出待定系數．