Question

已知橢圓與雙曲線x²-y²=1有相同的焦點，且離心率為．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）過點P（0，1）的直線與該橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，若=2，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）設橢圓方程為，由橢圓與雙曲線x²-y²=1有相同的焦點可得c值，由離心率可得a值，根據 平方關系可得b；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由=2，得，設直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，△AOB的面積S=S_△OAP+S_△OBP=，根據韋達定理及弦長公式即可求得答案；
解答：解：（I）設橢圓方程為，
因為橢圓與雙曲線有相同焦點，
所以c=，再由e=可得a=2，∴b²=a²-c²=2，
故所求方程為；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由=2，得，
設直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程整理，得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
解得，
若，，
則-=2，
解得，
又△AOB的面積S=S_△OAP+S_△OBP====，
故所求△AOB的面積是．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查平面向量的基本運算，解決（II）問的關鍵是恰當表示出△AOB的面積．