Question

已知橢圓與雙曲線有兩個公共點，且橢圓m與雙曲線n的離心率之和為2．
（1）求橢圓m的方程；
（2）過橢圓m上的動點P作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與圓O：x²+y²=a²+b²相交于點A，C，l₂與圓x∈[2，6]相交于點B，D，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件得a=2，再由雙曲線n的離心率為，知橢圓m的離心率．由此能求出橢圓m的方程．
（2）圓O的方程為x²+y²=7．若，則，橢圓m落在圓O內．設點P（x，y）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，則．由此入手能夠求出四邊形ABCD的面積的最小值．
解答：解：（1）若a＞2，則橢圓m與雙曲線n有四個公共點；
若0＜a＜2，則橢圓m與雙曲線n沒有公共點；
若a=2，則橢圓m與雙曲線n有公共點（±2，0）．
由題意，可得a=2．…（3分）
又雙曲線n的離心率為，
則橢圓m的離心率．
所以橢圓m的方程為．…（6分）
（2）圓O的方程為x²+y²=7．
若，
則，
即橢圓m落在圓O內．
如圖，設點P（x，y）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
則，…（7分）
由l₁⊥l₂，得d₁²+d₂²=OP²=x²+y²．
四邊形ABCD的面積…（9分）
由點P（x，y）在橢圓m上，
則．
又，得．…（11分）
當且僅當d₁d₂=0且y=0，
即P的坐標為（-2，0），
直線l₁，l₂的方程為y=0，
x=-2或P的坐標為（2，0），
直線l₁，l₂的方程為y=0，x=2時，．…（13分）
所以四邊形ABCD的面積的最小值為．…（14分）
點評：本題考查和橢圓的關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．