Question

【題目】已知函數，其中是自然數的底數，.

（1）當時，解不等式；

（2）若在上是單調增函數，求的取值范圍；

（3）當時，求整數的所有值，使方程在上有解.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）{－3，1}

【解析】

試題（1）利用，將不等式轉化為二次不等式進行求解；（2）根據在區間D上遞增等價于在區間D上恒成立；（3）構造函數，利用零點存在定理進行求解．

試題解析：（Ⅰ）∵ex＞0，∴當f（x）＞0時即ax2+x＞0，

又∵a＜0，∴原不等式可化為x（x+）＜0，∴f（x）＞0的解集為（0，-）；

（Ⅱ）∵f（x）=（ax2+x）ex，∴f，（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

①當a=0時，f，（x）=（x+1）ex，∵在[-1，1]上恒成立，當且僅當x=-1時取“=”，

∴a=0滿足條件；

②當a≠0時，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

∵△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，

∴g（x）=0有兩個不等的實根x1、x2，

不妨設x1＞x2，因此f（x）有極大值和極小值；

若a＞0，∵g（-1）g（0）=-a＜0，∴f（x）在（-1，1）內有極值點，∴f（x）在[-1，1]上不單調；

若a＜0，則x1＞0＞x2，∵g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]單調遞增，由g（0）=1＞0，

∴即，∴-≤a≤0；綜上可知，a的取值范圍是[-，0]；

（Ⅲ）當a=0時，方程f（x）=x+2為xex=x+2，

∵ex＞0，∴x=0不是原方程的解，

∴原方程可化為ex--1=0；

令h（x）=ex--1，∵h，（x）=ex+＞0在x∈（-∞0）∪（0+∞）時恒成立，

∴h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上是單調增函數；又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，

h（-3）=e-3＜0，h（-2）=e-2＞0，

∴方程f（x）=x+2有且只有兩個實根，且分別在區間[1，2]和[-3，-2]上，

所以，整數k的所有值為{-3，1}．