Question

【題目】（1）已知是定義在上的奇函數，求實數、的值；

（2）已知是定義在上的函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）根據題意，由奇函數的性質可得f（0）＝lglgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根據題意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，轉化為兩個函數y=和y=ax，先求相切的臨界情況，再由不等關系，即可得答案．

（1）是定義在R上的奇函數，

則有f（0）＝lglgb＝0，則b，

且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lglg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，

即（1﹣a2）x2＝0恒成立；

可得：a＝±1；

故a＝±1，b；

（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb為定義在R上的函數，

則ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，

令y=此函數為焦點在y軸上的雙曲線的上支，令y=ax,當y=ax與y=相切時，兩式聯立消去y,得,，故ax恒成立時，﹣1<a<1

即a的取值范圍為（-1，1）．