Question

【題目】如圖1，等邊△ABC中，AC＝4，D是邊AC上的點（不與A，C重合），過點D作DE∥BC交AB于點E，沿DE將△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如圖2所示．

（1）若異面直線BE與AC垂直，確定圖1中點D的位置；

（2）證明：無論點D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取DE中點O，BC中點F，連結OA，OF，以O為原點，OE、OF、OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出圖1中點D在靠近點A的三等分點處；

（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能證明無論點D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都為定值．

解：（1）在圖2中，取DE中點O，BC中點F，連結OA，OF，

以O為原點，OE、OF、OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設OA＝x，則OF＝2x，OE，

∴B（2，2x，0），E（，0，0），

A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），

（﹣2，2x，﹣x），

（2，x﹣2，0），

∵異面直線BE與AC垂直，

∴8＝0，

解得x（舍）或x，

∴，

∴圖1中點D在靠近點A的三等分點處．

證明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），

（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），

設平面ABE的法向量（a，b，c），

則，取a＝1，得（1，，），

設二面角D﹣AE﹣B的平面角為θ，

則cosθ，

∴無論點D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都為定值．