Question

【題目】

如圖，在直三棱柱中，平面側面A1ABB1．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關系，并予以證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析．

（Ⅱ），證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內作AD⊥A1B于D，則

由平面A1BC⊥側面A1ABB1，且平面A1BC側面A1ABB1=A1B，得

AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，所以AD⊥BC．

因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．

又AA1AD=A，從而BC⊥側面A1ABB1，

又AB側面A1ABB1，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角，

是二面角A1—BC—A的平面角，即

于是在中，在中，，

由，得，又，所以．

解法2：由（1）知，以點為坐標原點，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，

則，

于是，．

設平面的一個法向量為，則

由得

可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角．

所以，，

所以．

于是由，得，

即，又所以．

第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統方法一般來說要先作垂直，進而得直角三角形．若用向量方法，關鍵在求法向量．