Question

【題目】已知函數，，函數在，處取得極值，其中.

（1）求實數t的取值范圍；

（2）判斷在上的單調性并證明；

（3）已知在上的任意、，都有，令，若函數有3個不同的零點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調遞增，見解析；（3）

【解析】

（1）將問題轉化為二次函數有兩個不相等的正根的問題，根據一元二次方程根的分布問題求解即可；

（2）對求導，結合（1）中所求，求得導函數主導因式的正負，據此判斷函數的單調性即可；

（3）由題意知道，結合（1）中所求，聯立的方程組，解得，再將問題轉化為值域求解的問題，即可得到參數的范圍.

（1）∵有兩個不等正根，

即方程有兩個不等正根a、b

∴且，，

解得：.

（2），

令，則的對稱軸為.

∴在上的最小值為，

∴，于是在上單調遞增.

（3）由（2）可知：在上單調遞增，

∴，

即

又，，，

解得：，

∴，

∴，

∴在，上遞增，在上遞減

且當或時，

∴的極大值為，的極小值為，

又當時，；當時，，

∴當時，方程有3個不同的解，

∴實數的取值范圍為.