Question

橢圓的中心在原點，其左焦點為F（-

2

，0），左準線l的方程為x=-

3 2

2

．PQ是過點F且與x軸不垂直的弦，PQ的中點M到左準線l的距離為d．
（1）求此橢圓的方程；    
（2）求證：

PQ

d

為定值；
（3）在l上是否存在點R，使△PQR為正三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

c= 2 a2 c = 3 2 2 b2=a2-c2

，解出即可；
（2）由（1）可得e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，分別作PP′⊥l，QQ′⊥l，MM′⊥l，垂足分別為P′，Q′，M′．利用梯形的中位線定理和橢圓的第二定義即可得出；
（3）如圖所示．設在l上存在點R(-

3 2

2

，yR)使得△PQR為正三角形，直線PQ的斜率為k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
弦PQ的中點M（x_M，y_M）．把直線PQ的方程與橢圓聯立可得根與系數的關系，利用弦長公式可得|PQ|，利用中點坐標公式可得M，進而得到|MR|，再利用|RM|=

3

2

|PQ|即可得出k．

解答：解：（1）由題意可得

c= 2 a2 c = 3 2 2 b2=a2-c2

，解得

a2=3 b2=1

．
∴此橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）由（1）可得e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，
分別作PP′⊥l，QQ′⊥l，MM′⊥l，垂足分別為P′，Q′，M′．
∴d=|MM′|=

|PP′|+|QQ′|

2

=

|PQ|

2e

，
∴

|PQ|

d

=2e=

2 6

3

．
（3）如圖所示．設在l上存在點R(-

3 2

2

，yR)使得△PQR為正三角形，直線PQ的斜率為k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
弦PQ的中點M（x_M，y_M）．
由題意得

y=k(x+ 2 ) x2 3 +y2=1

整理得(1+3k2)x2+6

2

k2x+6k2-3=0．
∴x1+x2=-

6 2 k2

1+3k2

，x1x2=

6k2-3

1+3k2

．
∴M(

-3 2 k2

1+3k2

，

2 k

1+3k2

)，
|PQ|=

1+k2

[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 3 (1+k2)

1+3k2

．．
則|MR|=

1+(- 1 k )2

|

-3 2 k2

1+3k2

+

3 2

2

|=

1+k2

|k|

×

3 2 (1+k2)

2(1+3k2)

．
由|MR|=

3

2

|PQ|，∴

1+k2

|k|

×

3 2 (1+k2)

2(1+3k2)

=

3

2

×

2 3 (1+k2)

1+3k2

，
兩邊平方化簡得k²+1=2k²，解得k=±1．
當k=1時，點M(-

3 2

4

，

2

4

)，直線MR的方程為y-

2

4

=-(x+

3 2

4

)．當x=-

3 2

2

時，y=

2

，即點R(-

3 2

2

，

2

)．
同理，當k=-1時，可得R(-

3 2

2

，-

2

)．
綜上可得：在l上存在點R(-

3 2

2

，±

2

)，使△PQR為正三角形．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、梯形的中位線定理和橢圓的第二定義、直線與橢圓相交問題轉化為把直線的方程與橢圓聯立可得根與系數的關系、弦長公式、點坐標公式、正三角形的性質等是解題的關鍵．