Question

橢圓的中心在原點，其左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點．當直線l與x軸垂直時，

|CD|

|AB|

=2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求過點O，F₁，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；
（Ⅲ）求

F2A

•

F2B

的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）又拋物線方程求橢圓中c的值，再根據橢圓與拋物線的通徑比求出a，b關系式，橢圓方程可解．
（Ⅱ）由圓過點O，F₁可得圓心橫坐標值，再根據圓與橢圓的左準線相切，可求出半徑．
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程與橢圓方程聯立，得x₁x₂與x₁+x₂，再代入

F2A

•

F2B

，化簡，即可得到關于k的式子，其范圍也就是

F2A

•

F2B

的范圍．進而求出最值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點，其左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，∴c=1
∵過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點．當直線l與x軸垂直時，∴AB為橢圓通徑，CD為拋物線通經，
∵

|CD|

|AB|

=2

2

，∴

4

2b2 a

=2

2

，b²=

2

2

a，∵a²=b²+c²，得a=

2

，b=1，∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）∵所求圓過點O，F₁，可設坐標為（-

1

2

，n），∵圓與橢圓的左準線相切，∴半徑r=-

1

2

-（-2）=

3

2

∴

(- 1 2 )2+ n2

=

3

2

，n=

2

，∴所求圓方程為(x+

1

2

)2+(y-

2

)2=

9

4

．
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當直線l斜率存在時，設方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得，

x2

2

+ k2(x+1)2=1
∴x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，x₁+x2=

-4k2

1+2k2

..

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

--

9 2

1+2k2

∵k²∈[0，+∞），∴

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

）
②當直線l斜率不存在時，可得啊（-1，

2

2

）B（-1，-

2

2

），此時，

F2A

•

F2B

=

7

2

．
綜上，

F2A

•

F2B

∈[1，

7

2

]．∴

F2A

•

F2B

最大值為

7

2

，最小值為-1．

點評：本題考查了橢圓，拋物線與直線的綜合應用，屬常規題，應當掌握解法．