Question

實軸長為4

3

的橢圓的中心在原點，其焦點F₁，，F₂在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內相交于點A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若

AC

=2

AB

，求直線l的斜率k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，AF₁=m，AF₂=n，由題意知

m2+n2=4c2 m+n=4 3 mn=6

，由此能求出橢圓的方程和拋物線方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y-1=k(x-2

2

)，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由

AC

=2

AB

，得2x1-x2=2

2

，聯立直線與拋物線的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2=8y

，得x2-8kx+16

2

k-8=0，x1+2

2

=8k．聯立直線與橢圓的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2+4y2=12

，得(1+4k2)x2+(8k-16

2

k2)x+32k2-16

2

k-8=0．由此能求出直線l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，AF₁=m，AF₂=n

由題意知

m2+n2=4c2 m+n=4 3 mn=6

…（2分）
解得c²=9，∴b²=12-9=3．
∴橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1…（4分）
∵y_A×c=3，∴y_A=1，代入橢圓的方程得xA=2

2

，
將點A坐標代入得拋物線方程為x²=8y．         …（6分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y-1=k(x-2

2

)，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由

AC

=2

AB

得x2-2

2

=2(x1-2

2

)，
化簡得2x1-x2=2

2

…（8分）
聯立直線與拋物線的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2=8y

，
得x2-8kx+16

2

k-8=0
∴x1+2

2

=8k①…（10分）
聯立直線與橢圓的方程

y-1=k(x-2 2 ) x2+4y2=12

得(1+4k2)x2+(8k-16

2

k2)x+32k2-16

2

k-8=0
∴x2+2

2

=

16 2 k2-8k

1+4k2

②…（12分）
∴2x1-x2=2(8k-2

2

)-

16 2 k2-8k

1+4k2

+2

2

=2

2

整理得：(16k-4

2

)(1-

2 k

1+4k2

)=0∴k=

2

4

，所以直線l的斜率為

2

4

．       …（14分）

點評：本題考查橢圓和拋物線的標準方程的求法和求直線l的斜率k．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質，合理地進行等價轉化．