Question

【題目】已知 ：方程 有兩個不等的正根； ：方程 表示焦點在 軸上的雙曲線.
（1）若 為真命題，求實數 的取值范圍；
（2）若“ 或 ”為真，“ 且 ”為假，求實數 的取值范圍

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知方程 表示焦點在 軸上的雙曲線，

所以 ，解得 ，即

（2）解：若方程 有兩個不等的正根，

則 解得 ，即 .

因 或 為真，所以 至少有一個為真.

又 且 為假，所以 至少有一個為假.

因此， 兩命題應一真一假，當 為真， 為假時， ，解得 ；

當 為假， 為真時， ，解得 .

綜上， 或 .

【解析】(1)根據題意結合已知條件焦點在 y 軸上的雙曲線，即可得出關于m的不等式組解出m的取值范圍即可。(2)利用題中條件當命題p為真命題時，借助二次函數根的情況以及韋達定理求出m的取值范圍，結合題意由“ p 或 q ”為真，“ p 且 q ”為假可得出p 或 q 為真，所以 p 、 q 至少有一個為真.又 且 為假，所以 至少有一個為假，按照這兩種情況分情況討論即可的出m的取值范圍。
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．