Question

飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回倉預計到達區域安排三個救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km，C在B的北偏東30°，相距4km，P為航天員著陸點，某一時刻A接到P的求救信號，由于B、C兩地比A距P遠，因此4s后，B、C兩個救援中心才同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s．
（1）求A、C兩個救援中心的距離；
（2）求在A處發現P的方向角；
（3）若信號從P點的正上方Q點處發出，則A、B收到信號的時間差變大還是變小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，求出A，B，C的坐標，然后求出AC的距離即可．
（2）根據|PC|=|PB|得出P在BC線段的垂直平分線上，建立雙曲線方程，并求出∠PAB．
（3）設|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y，建立不等式，并求解，得到A、B收到信號的時間差變小

解答：解：（1）以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
則A(-3，0)，B(3，0)，C(5，2

3

)
則|AC|=

(5+3)2+(2 3 )2

=2

19

km
即A、C兩個救援中心的距離為2

19

km

（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC線段的垂直平分線上
又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，且|AB|=6
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1 (x＜0)
BC的垂直平分線的方程為x+

3

y-7=0
聯立兩方程解得：x=-8∴P(-8，5

3

)，kPA=tan∠PAB=-

3

∴∠PAB=120°所以P點在A點的北偏西30°處

（3）如圖，設|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y
∵|QB|-|QA|=

x2+h2

-

y2+h2

=

x2-y2

x2+h2 + y2+h2

=(x-y)•

x+y

x2+h2 + y2+h2

又∵

x+y

x2+h2 + y2+h2

＜1
∴|QB|-|QA|＜|PB|-|PA|∴

|QB|

1

-

|QA|

1

＜

|PB|

1

-

|PA|

1

即A、B收到信號的時間差變小

點評：本題考查雙曲線方程的應用，涉及到解空間幾何體的方法，通過對雙曲線知識與立體幾何知識的糅合，考查學生對知識的應用能力，屬于中檔題．