Question

（本小題滿分13分）

        某飛船返回倉順利返回地球后，為了及時救出航天員，地面指揮中心在返回倉預計到達的區域內安排了三個救援中心（如圖1分別記為A，B，C），B地在A地正東方向上，兩地相距6km； C地在B地北偏東方向上，兩地相距4km，假設P為航天員著陸點，某一時刻A救援中心接到從P點發出的求救信號，經過4s后，B、C兩個救援中心也同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s。

   （I）求A、C兩上救援中心的距離；

   （II）求P相對A的方向角；

   （III）試分析信號分別從P點處和P點的正上方Q點（如圖2，返回倉經Q點垂直落至P點）處發出時，A、B兩個救援中心收到信號的時間差的變化情況（變大還是變小），并證明你的結論。

Answer 1

解：（1）以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則

       則

         即A、C兩個救援中心的距離為.………3分

（2），所以P在BC線段的垂直平分線上.

又，所以P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，且

∴雙曲線方程為

BC的垂直平分線的方程為

聯立兩方程解得：

∴∠PAB＝120°所以P點在A點的北偏西30°方向上. ………9分

（3）如圖，設

又∵

即從P點的正上方Q點處A、B收到信號的時間差比從P點處A、B收到信號的時間差變小. ………13分