Question

某飛船返回倉(cāng)順利返回地球后，為了及時(shí)救出航天員，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域內(nèi)安排了三個(gè)救援中心(如圖1分別記為A，B，C)，B地在A地正東方向上，兩地相距6 km； C地在B地北偏東30°方向上，兩地相距4 km，假設(shè)P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻A救援中心接到從P點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)過(guò)4 s后，B、C兩個(gè)救援中心也同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1 km/s.

(1)求A、C兩地救援中心的距離；

(2)求P相對(duì)A的方向角；

(3)試分析信號(hào)分別從P點(diǎn)處和P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)(如圖2，返回倉(cāng)經(jīng)Q點(diǎn)垂直落至P點(diǎn))處發(fā)出時(shí)，A、B兩個(gè)救援中心收到信號(hào)的時(shí)間差的變化情況(變大還是變小)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1)以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

A(－3,0)，B(3,0)，C(5,2)，

則|AC|＝＝2(km)，

即A、C兩個(gè)救援中心的距離為2 km.

(2)∵|PC|＝|PB|，所以P在BC線段的垂直平分線上.

又∵|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且|AB|＝6，

∴雙曲線方程為－＝1(x＜0).

BC的垂直平分線的方程為x＋y－7＝0，聯(lián)立兩方程解得： x＝－8.

 ∴P(－8,5)，∴k_PA＝tan∠PAB＝－，

∴∠PAB＝120°，

所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30°方向上.

(3)如圖，設(shè)

|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y(tǒng)，

∵|QB|－|QA|

＝－

＝

＝(x－y)·，

又∵＜1，

∴|QB| －|QA|＜|PB|－|PA|，

∴－＜－.

即從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出的信號(hào)，然后A、B收到的時(shí)間差比從P點(diǎn)處發(fā)出的信號(hào)，然后A、B收到的時(shí)間差變小.