Question

在平面直角坐標系xOy中，B（0，-3），C（0，3），△ABC的邊滿足AB+CA=2BC．則點A的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意，點A到B、C兩點的距離之和等于2|BC|=12，根據橢圓的定義可得A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（長軸端點除外）．再由a=6且c=3算出b²=a²-c²=27，從而得出此橢圓的方程，進而得到所求軌跡方程．

解答： 解：∵B（0，-3），C（0，3），
∴AB+CA=2BC=12＞BC，
根據橢圓的定義，可得頂點A的軌跡是以B、C為焦點，長軸長等于12的橢圓（長軸端點除外）．
∵2a=12，2c=6，
∴a=6，c=3，可得b²=a²-c²=27．
因此，頂點A的軌跡方程為

y2

36

+

x2

27

=1（x≠0）．
故答案為：

y2

36

+

x2

27

=1（x≠0）．

點評：本題考查了橢圓的定義、等差數列及其性質、動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．