Question

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a、b、c且b²+c²=bc+a²
（1）求∠A；
（2）若a=

3

，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由a和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角差的余弦函數(shù)公式化簡，去括號合并后再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)角度的范圍求出正弦函數(shù)的值域，進而得到所求式子的范圍．

解答：解：（1）由余弦定理知：
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，又A∈（0，π）
∴∠A=

π

3

（2）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2
∴b=2sinB，c=2sinC
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）
=4-2cos2B-2cos2（

2π

3

-B）
=4-2cos2B-2cos（

4π

3

-2B）
=4-2cos2B-2（-

1

2

cos2B-

3

2

sin2B）
=4-cos2B+

3

sin2B
=4+2sin（2B-

π

6

），
又∵0＜∠B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

∴-1＜2sin（2B-

π

6

）≤2
∴3＜b²+c²≤6．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．