Question

已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

．
（I）求f（x）的最大值，及當(dāng)取最大值時(shí)x的取值集合．
（II）在三角形ABC中a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，對(duì)定義域內(nèi)任意x有f（x）≤f（A），且b=1，c=2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可求f（x）的最大值及當(dāng)取最大值時(shí)x的取值集合．
（II）根據(jù)對(duì)定義域內(nèi)任意x有f（x）≤f（A），求得A=

π

3

，再利用余弦定理，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

=2

3

sinx+2cosx=4sin(x+

π

6

)．
當(dāng)x+

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)時(shí)，即x=2kπ+

π

3

(k∈Z)，f（x）取得最大值為4
∴f（x）的最大值為4，最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=2kπ+

π

3

，(k∈Z)}．
（II）∵對(duì)定義域內(nèi)任意x有f（x）≤f（A），
∴A=2kπ+

π

3

(k∈Z)
∵A為三角形的內(nèi)角
∴A=

π

3

∵b=1，c=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=3
∴a=

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)函數(shù)．