Question

(本小題滿分14分)
在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程
（2）是否存在以為直角頂點且內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由

Answer 1

解：（1）由得，                             …1分
又．                                  …2分
故橢圓方程為，
橢圓經過點，則
．                                       …3分
所以                                          … 4分
所以橢圓的標準方程為．                          …5分
（2）假設存在這樣的等腰直角三角形.
明顯直線的斜率存在，因為點的坐標為，設直線的方程，則直線的方程為．         …6分
由 得

所以，或[
所以點的縱坐標為                        …7分
所以．…8分
同理                    …9分[
因為是等腰直角三角形，所以，即
                              …10分
即
所以，即                    …11分
所以
即
所以，或                                  …12分
所以，或．                                   …13分
所以這樣的直角三角形有三個．                              …14分

略