Question

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在以為直角頂點且內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由得，.......................................... （1分）
又．........................................................ （2分）
故橢圓方程為，
橢圓經過點，則
．............................................................ （3分）
所以...............................................................  （4分）
所以橢圓的標準方程為．................................................ （5分）
（2）假設存在這樣的等腰直角三角形.
明顯直線的斜率存在，因為點的坐標為，設直線的方程為，則直線的方程為．.............................................................. （6分）
將的方程代入橢圓得

所以，或[
所以點的縱坐標為............................................... （7分）
所以．.............. （8分）
同理....................................... （9分）
因為是等腰直角三角形，所以，即
................................................ （10分）
即
所以，即..................................... （11分）
所以
即
所以，或..................................................... （12分）
所以，或．...................................................... （13分）
所以這樣的直角三角形有三個．................................................... （14分）

略