Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線與圓O：相切．

（1）直線l過點(2，1)且截圓O所得的弦長為，求直線l的方程；

（2）已知直線y＝3與圓O交于A，B兩點，P是圓上異于A，B的任意一點，且直線AP，BP與y軸相交于M，N點．判斷點M、N的縱坐標之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析.

【解析】

（1）記圓心到直線l的距離為d，利用垂徑定理求得d．當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，滿足題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），利用圓心到直線的距離列式求得k，則直線方程可求；

（2）設P（x1，y1），由直線y=3與圓O交于A、B兩點，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分別求出直線PA、PB的方程，進一步得到M，N的坐標，由P在圓上，整體運算可得為定值．

∵直線x﹣3y﹣10=0與圓O：x2+y2=r2（r＞0）相切，

∴圓心O到直線x﹣3y﹣10=0的距離為r=．

（1）記圓心到直線l的距離為d，∴d=．

當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，滿足題意；

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．

∴，解得k=﹣，此時直線l的方程為3x+4y﹣10=0．

綜上，直線l的方程為x=2或3x+4y﹣10=0；

（2）點M、N的縱坐標之積為定值10．

設P（x1，y1），

∵直線y=3與圓O交于A、B兩點，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），

∴直線PA、PB的方程分別為y﹣3=，y﹣3=．

令x=0，得M（0，），N（0，），

則（*）．

∵點P（x1，y1）在圓C上，∴，即，

代入（*）式，得為定值．