Question

求證：(n+1)(n+2)+(n+3)·…·（n+n）=2ⁿ×1×3×5×…×(2n-1).

Answer 1

證明:用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.

根據(jù)歸納法假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即

(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2^k×1×3×5×…×(2k-1).①

要證明n=k+1時(shí)，命題也成立，即

(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=2^k+1×1×3×5×…×［2(k+1)-1］.②

要用①來證明②，事實(shí)上，對(duì)等式①兩邊乘以,就湊好了等式②的左邊.接下來，對(duì)［2^k×1×3×5×…×(2k-1)］×恒等變形，可得②式右邊.因此，對(duì)任意n∈N^*，原不等式成立.