Question

（文科）已知n²（n≥4且n∈N*）個正數排成一個n行n列的數陣：
          第1列     第2列    第3列   …第n列
第1行     a_1，1 a_1，2 a_1，3 …a_1，n
第2行     a_2，1 a_2，2 a_2，3 …a_2，n
第3行     a_3，1 a_3，2 a_3，3 …a_3，n
…
第n行     a_n，1 a_n，2 a_n，3 …a_n，n
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示該數陣中位于第i行第k列的數，已知該數陣中各行的數依次成等比數列，各列的數依次成公比為2的等比數列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）設A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求證：A_n+n能被3整除．

Answer 1

分析：（1）由題意，a_2，3=8，a_3，4=20，所以a_1，3=3，a_1，4=5，故第1行公差d=1，由此能求出a_1，1和a_2，2．
（2）由a_1，n=n+1，a_2，n-1=2n，a_3，n-2=2²（n-1），…，a_n-1，2=3×2^n-2，a_n，1=2×2^n-1，知A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-1，由錯位相減法能夠求出A_n．由此能夠證明A_n+n能被3整除．

解答：解：（1）由題意，a_2，3=8，
a_3，4=20，
所以a_1，3=3，a_1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a_1，1=2，a_1，2=3，
得a_2，2=2a_1，2=6．
（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，a_2，n-1
=2n，a_3，n-2
=2²（n-1），…，a_n-1，2
=3×2^n-2，a_n，1
=2×2^n-1
所以A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1
=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-12A_n
=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ
兩式相減，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ
=-(n+1)+

2(1-2n-1)

1-2

+2×2n
=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ
=3×2ⁿ-3-n
所以A_n-n=3×（2ⁿ-1），
故A_n+n能被3整除．

點評：本題考查數列的綜合運用，綜合性強，難度較大，容易出錯．解題時要認真審題，注意尋找規律，合理地進行等價轉化．