Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）設Tn= ，求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．

令n=1時，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1

（2）解：由于：2Sn=（n+2）an﹣1①

所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②

②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，

整理得： ，則 ，即 ．

∵ ，

∴ ，…， ，

利用疊乘法把上面的（n﹣1）個式子相乘得： = ，

∴ ，當n=1時，a1=1符合上式，

∴數列的通項公式是 ．

（3）證明：∵ ，∴ ，

∴ =2（ ），

∴Tn=

=2（ …+ ）

=2（ ）＜2（ ）= ．

故Tn＜ ．

【解析】（1）令n=1可得a1的值；（2）由已知條件可得2Sn+1=（n+3）an+1﹣1，作差可得=，利用疊乘法可得數列{an}的通項公式；（3）利用裂項法可得Tn，進而可證Tn＜．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．