Question

已知函數在處取得極值.
(1)求實數的值；
(2)若關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根,求實數的取值范圍；
(3)證明:對任意的正整數,不等式都成立.

Answer 1

(1)  (2)   (3)先證

解析試題分析：(1)                      
時,取得極值,                  
故解得經檢驗符合題意.    
（2）由知 由,得 
令則在區間上恰有兩個不同的實數根等價于在區間上恰有兩個不同的實數根.     
當時,,于是在上單調遞增; 
當時,,于是在上單調遞減.   
依題意有,
解得,                  
(3) 的定義域為,由(1)知,
令得,或(舍去),  當時, ,單調遞增;
當時, ,單調遞減. 為在上的最大值.                      
,故(當且僅當時,等號成立)
對任意正整數,取得,    
故.     
（方法二）數學歸納法證明：
當時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.
假設時，成立，
則時，有.做差比較：
構建函數，則，
單調遞減，.
取，
即，亦即，
故