Question

【題目】若存在常數，使得數列滿足對一切恒成立，則稱為可控數列，.

（1）若，，問有多少種可能？

（2）若是遞增數列，，且對任意的，數列，，成等差數列，判斷是否為可控數列？說明理由；

（3）設單調的可控數列的首項，前項和為，即.問的極限是否存在，若存在，求出與的關系式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2017種；（2）是；見解析；（3）極限存在，此時

【解析】

（1）依據定義驗證利用枚舉法即得結果；

（2）根據，，成等差數列，得到；再根據是遞增數列，得到，最后得；

（3）當為單調遞增時，；當為單調遞減時，；利用累加法求得數列的通項，再對數列進行分組求和后求極限即得.

（1）當，時，有，用枚舉法，得：

；

，；

，，；

，，，；

，，， .

我們發現：

當為奇數時，項有種可能；

當為偶數時，項有種可能；

故有種可能；

（2），，成等差數列，

，變形得：，

又是遞增數列，

，

即

，，

即

所以命題得證；

（3）（ⅰ）若數列為單調遞增數列，則：

，由累加法得：

，

對數列進行分組求和得：，

極限不存在；

（ⅱ）若數列為單調遞減數列，則：

，由累加法得：

，

對數列進行分組求和得：

，極限存在，此時.