Question

【題目】已知數列是公差不為0的等差數列，，數列是等比數列，且，，，數列的前n項和為．

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求的前n項和；

（3）若對恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據，，，列方程組解方程組可得；
（2）分和討論，求；
（3）令，由單調性可得，由題意可得，易得的最小值．

解：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
則由題意可得，解得或，
∵數列是公差不為0的等差數列，，
∴數列的通項公式；
（2）由（1）知，

當時，，

當時，

，

綜合得：
（3）由（1）可知，

令，，∴隨著的增大而增大，
當為奇數時，在奇數集上單調遞減，，
當為偶數時，在偶數集上單調遞增，，
，

對恒成立，
，

∴的最小值為．