Question

【題目】若對任意的正整數，總存在正整數，使得數列的前項和，則稱是“回歸數列”．

（）①前項和為的數列是否是“回歸數列”？并請說明理由．②通項公式為的數列是否是“回歸數列”？并請說明理由；

（）設是等差數列，首項，公差，若是“回歸數列”，求的值．

（）是否對任意的等差數列，總存在兩個“回歸數列”和，使得成立，請給出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（）見解析;（）;（）見解析.

【解析】試題分析： 利用當時， ，當時， 即可得到，再利用“回歸數列”的意義即可得出；②， ， 為偶數，即可證明數列是“回歸數列”

利用等差數列的前項和即可得到，對任意，存在，使，取時和根據即可得出結論

設等差數列的公差為，構造數列， ，可證明和是等差數列。再利用等差數列的前項和公式及其通項公式，“回歸數列”，即可得出；

解析：（）①當時， ，

當時， ，

當時， ，

∴數列是“回歸數列”．

②，前項和，

∵為偶數，

∴存在，

即，使，

∴數列是“回歸數列”．

（），

對任意，存在，使，

即，

取時，得，解得，

∵，

∴，

又，

∴，

∴．

（）設等差數列的公差為，令，

對， ，

令，則對， ，

則，且數列和是等差數列，

數列的前項和，

令，則，

當時， ；

當時， ．

當時， 與的奇偶性不同，

故為非負偶數，

∴，

∴對，都可找到，使成立，

即為“回歸數列”．

數列的前項和，

∴，

則，

∵對， 為非負偶數，

∴，

∴對，都可找到，使得成立，

即為“回歸數列”，

故命題得證．