Question

函數f（x）=2^x，對x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂，α=

x1+λx2

1+λ

，β=

x2+λx1

1+λ

（λ＞1），比較大小：f（α）+f（β）

 

f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

分析：由題意可得f^'（x）=2^xln2，f^''（x）=（ln2）²2^x＞0，從而f（x）為嚴格下凸函數
而f(α)=f(

x1+λx2

1+λ

)=f(

x1

1+λ

+

λx2

1+λ

)＜

f(x1)

1+λ

+

λf(x2)

1+λ

，f(β)=f(

x2+λx1

1+λ

)=f(

x2

1+λ

+

λx1

1+λ

)＜

f(x2)

1+λ

+

λf(x1)

1+λ

，從而可得

解答：解：由題意可得f^'（x）=2^xln2，f^''（x）=（ln2）²2^x＞0

從而f（x）為嚴格下凸函數 因此f(α)=f(

x1+λx2

1+λ

)=f(

x1

1+λ

+

λx2

1+λ

)＜

f(x1)

1+λ

+

λf(x2)

1+λ

同理f(β)=f(

x2+λx1

1+λ

)=f(

x2

1+λ

+

λx1

1+λ

)＜

f(x2)

1+λ

+

λf(x1)

1+λ

則f（α）+f（β）＜

f(x1)+f(x2)

1+λ

+

λ

1+λ

[f（x₁）+f（x₂）]=f（x₁）+f（x₂）




故答案為：＜

點評：本題主要考查了利用指數函數的單調性比較代數式的大小，解題中要注意下凸函數性質的應用．