Question

已知函數f（x）=

2x+3

3x

，數列{a_n}滿足：a₁=1，a _n+1=f（

1

an

），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1求T_n；
（3）設b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，若S_n＜

k-2004

2

對一切n∈N*成立，求最小的正整數m的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意列出遞推公式，再由等差數列的定義求通項公式a_n．
（2）根據式子的特點進行變形，然后由（1）知數列為等差數列求T_n．
（3）把a_n代入b_n整理后再裂項，然后求數列{b_n}的前n和s_n，再用放縮法和不等式恒成立問題，求m的值．

解答：解：（1）∵a _n+1=f（

1

an

）=

2+3an

3

=a_n+

2

3

∴a_n+1-a_n=

2

3

∴數列{a_n}是以

2

3

為公差，首項a₁=1的等差數列
∴a_n=

2

3

n+

1

3

（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-

4

3

（a₂+a₄+…+a_2n）
=-

4

3

×

n×( 5 3 + 4n 3 + 1 3 )

2

=-

4

9

（2n²+3n）
（3）當n≥2時，b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n- 1 3 )

=

9

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
當n=1時，上式同樣成立
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n=

9

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

9

2

（1-

1

2n+1

）=

9

2

-

9

4n+2

＜

9

2

恒成立
∵S_n＜

k-2004

2

，即

9

2

（1-

1

2n+1

）＜

k-2004

2

，
解得  m≥2011，
∴m_最小=2011

點評：本題的前兩小題考查了等差數列的定義求和問題，最后一小題有一定的難度，用到了裂項相消法求和，處理不等式時用到了放縮法，使得不等式恒成立．