Question

（2004•朝陽區一模）已知f（x）=log

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x+3的反函數為f^-1（x），則使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范圍是

（3，+∞）

．

Answer 1

分析：由y=log

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x+3，（x＞0），解得x=(

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)y-3，再將x與y互換得到y=2^3-x，即可得到f（x）=log

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x+3的反函數為f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．令g（x）=2^3-x-x+2，由指數函數及復合函數的單調性判斷方法、一次函數的單調性可得g（x）=2^3-x-x+2在R上單調遞減，又g（3）=0，即可得到不等式的取值范圍．

解答：解：由y=log

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x+3，（x＞0），解得x=(

1

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)y-3，將x與y互換得到y=2^3-x，
∴f（x）=log

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x+3的反函數為f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．
由f^-1（x）＜x-2，即2^3-x＜x-2．
令g（x）=2^3-x-x+2，
由指數函數及復合函數的單調性判斷方法可知：y=2^3-x在R上單調遞減，
由一次函數的單調性可知：y=-x+2在R上單調遞減，
∴g（x）=2^3-x-x+2在R上單調遞減，
而g（3）=2⁰-3+2=0，
∴當x＞3時，g（x）＜g（3）=0，即2^3-x＜x-2．
因此使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范圍是（3，+∞）．
故答案為（3，+∞）．

點評：熟練掌握反函數的求法、指數函數及復合函數的單調性判斷方法、一次函數的單調性是解題的關鍵．