Question

如圖，橢圓C：焦點在軸上，左、右頂點分別為A₁、A，上頂點為B．拋物線C₁、C：分別以A、B為焦點，其頂點均為坐標原點O，C₁與C₂相交于直線上一點P．

⑴求橢圓C及拋物線C₁、C₂的方程；
⑵若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點M、N，已知點Q（，0），求的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，A（，0），B（0，），故拋物線C₁的方程可設為，C₂的方程為………… 1分
由  得………… 3分
所以橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為
設直線方程為
由，整理得………… 6分
因為動直線與橢圓C交于不同兩點，所以
解得              ………… 7分
設M（）、N（），則
……8分
因為
所以
………… 10分
因為，所以當時，取得最小值
其最小值等于………… 12分

略