Question

如圖，已知某橢圓的焦點是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上不同的兩點A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列.

(1)求該弦橢圓的方程；
(2)求弦AC中點的橫坐標；
(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

Answer 1

(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故橢圓方程為=1.
(2)由點B(4,y_B)在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|F₂A|=(－x₁),|F₂C|=(－x₂)，
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得
(－x₁)+(－x₂)=2×,由此得出：x₁+x₂=8.
設弦AC的中點為P(x₀,y₀),則x₀==4.
(3)解法一：由A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在橢圓上.

① ②

得                 

①－②得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)=0,
即9×=0(x₁≠x₂)
將 (k≠0)代入上式，
得9×4+25y₀(－)=0
(k≠0)
即k=y₀(當k=0時也成立).
由點P(4，y₀)在弦AC的垂直平分線上，得y₀=4k+m,所以m=y₀－4k=y₀－y₀=－y₀.
由點P(4，y₀)在線段BB′(B′與B關于x軸對稱)的內部，
得－＜y₀＜,所以－＜m＜.
解法二：因為弦AC的中點為P(4,y₀)，所以直線AC的方程為
y－y₀=－(x－4)(k≠0)                         ③
將③代入橢圓方程=1,得
(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²=0
所以x₁+x₂==8,解得k=y₀.(當k=0時也成立)
(以下同解法一).

略