Question

已知雙曲線C：的兩個焦點為F₁（-2，0），F₂（2，0），點在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知 Q （0，2），P為雙曲線C上的動點，點M滿足，求動點M的軌跡方程；
（3）過點Q （0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，記O為坐標原點，若△OEF的面積為2，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）依題意，由a²+b²=4，
得雙曲線方程為（0＜a²＜4），
將點（3，）代入上式，得．
解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求雙曲線方程為=1．…（4分）
（2）設M（x，y），
∵點M滿足，
∴M為線段PQ的中點，
∵Q （0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把點P（2x，2y-2）代入雙曲線方程為=1，
得動點M的軌跡方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）
（3）依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，
代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴，
∴k∈（-）∪（1，）．…（10分）
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則由①式得x₁+x₂=，x₁x₂=-，
于是|EF|=
=
=
=，
而原點O到直線l的距離d=，
∴S_△OEF=
=
=．…（13分）
若S_△OEF=2，
即，
∴k⁴-k²-2=0，
解得k=±，
滿足②．故滿足條件的直線l有兩條，
其方程分別為y=和．…（16分）
分析：（1）依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4），將點（3，）代入上式，能求出雙曲線方程．
（2）設M（x，y）由題意M為線段PQ的中點，則P（2x，2y-2），由此能得到動點M的軌跡方程．
（3）設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，所以，由此能求出滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和．
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．易錯點是計算量大，容易出錯．