Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，x∈（0，+∞），其導函數為f′（x），現有如下命題：
①對x1∈（0，+∞），x2∈（0，+∞），使得x2f（x1）＞x1f（x2）；
②對x1∈（0，+∞），對x2∈（0，+∞）且x1≠x2 ， 使得f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1；
③當a＞3時，對x∈（0，+∞），不等式f（a+x）＜f（a）ex恒成立；
④當a＞3時，對x∈（3，+∞），且x≠a時，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立；其中真命題的個數為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數的定義域為（0，+∞），∵f′（x）=lnx+1，令lnx+1＜0得0＜x＜ ，
∴函數f（x）=xlnx的單調遞減區間是（ 0， ），單調增區間為（ ，+∞）．
其大致圖象如下：

對于①，x2f（x1）＞x1f（x2）可變為 ；
原命題等價于，在函數f（x）圖象上任一點A（x1 ， f（xx1）），都存在點B（x2 ， f（x2）），使得直線OA的斜率大于OB的斜率，結合圖象可判定①正確．
對于②，f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1可變為f（x1）+x1）＜f（x2）+x2 ， 原命題等價于，函數g（x）=f（x）+x，對x2∈（0，+∞），都存在x1∈（0，+∞）使g（x2）＞g（x1）；
∵g′（x）=f′（x）+1=lnx+2，顯然函數g（x）有最小值，故不存在，故②錯；
對于③，f（a+x）＜f（a）ex（a+x）ln（a+x）＜alna）ex ，構造函數g（x）= ，則問題就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．
g′（x）= ，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，則h′（x）= ﹣lnx﹣1，顯然h′（x）是減函數．
當x＞1時，h′（x）＜h′（1）=0，從而函數h（x）在（1，+∞）上也是減函數．
從而當x＞3時，h（x）＜h（e）=lne+1﹣elne=2﹣e＜0，即 g′（x）＜0，
即函數g（x）= 在區間（3，+∞）上是減函數．
當a＞3時，對于任意的非零正數x，a+x＞a＞3，進而有g（a+x）＜g（a）恒成立，故③正確；
對于④，構造函數h（x）=f（x）f（a）﹣f′（a）（x﹣a）=xlnx﹣xlna﹣x+a，（x＞3）
h′（x）=lnx﹣lna，可知h（x）在（3，a）遞減，在（a，+∞）遞減，h（x）≥h（a）=0，∴x≠a時，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立，故④正確；
故選：C．
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．