Question

【題目】已知函數g（x）=|x|+2|x+2﹣a|（a∈R）．
（1）當a=3時，解不等式g（x）≤4；
（2）令f（x）=g（x﹣2），若f（x）≥1在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得g（x）=|x|+2|x﹣1|≤4

當x≥1時，原不等式化為：x+2（x﹣1）≤4，解得1≤x≤2；

當0≤x＜1時，原不等式化為：x+2（1﹣x）≤4，解得0≤x＜1

當x＜0時，原不等式化為：﹣x+2（1﹣x）≤4，

解得﹣ ≤x＜0．

綜上可得，不等式的解集為{x|﹣ ≤x≤2}

（2）解：f（x）=g（x﹣2）=|x﹣2|+2|x﹣a|（a∈R）

a＞2時，f（x）= ；

a=2時，f（x）= ；

a＜2時，f（x）= ；

所以f（x）的最小值為f（2）或f（a）；

則 ，即 所以|a﹣2|≥1，

解得a≤1或a≥3．

【解析】（1）由題意可得g（x）=|x|+2|x﹣1|≤4，討論當x≥1時，當0≤x＜1時，當x＜0時，去掉絕對值，解不等式即可得到所求解集；（2）求得f（x）=g（x﹣2）=|x﹣2|+2|x﹣a|（a∈R），討論a=2，a＞2，a＜2，運用分段函數求出f（x），所以f（x）的最小值為f（2）或f（a），由恒成立思想可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．