Question

已知定義域為R的函數f （x）對任意實數x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（

π

2

）=1．給出下列結論：
①f（

π

4

）=

1

2

②f（x）為奇函數  
③f（x）為周期函數  
④f（x）在（0，π）內為單調函數
其中正確的結論是

 

．（ 填上所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析：通過給題中恒成立的等式賦值，對于①給x，y都賦值

π

4

判斷出錯；對于②給x賦值0判斷出對；對于③給x賦

π

2

判斷出對；對于④通過舉反例判斷出錯．

解答：解：對于①令x=y=

π

4

得f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)cos

π

4

所以f(

π

4

)=

2

2

，故①錯
對于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）為奇函數，故②對
對于③，令y=

π

2

得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，所以f(x+

π

2

)=-f(x-

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=-f(x+

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=f(x-

π

2

)∴f（x）的周期為2π，故③對
對于④，由②③知，例如f（x）=sinx，滿足但在（0，π）不單調，故④錯
故答案為：②③

點評：本題考查通過給恒等式中的未知數賦定值求函數值、求函數的性質．