Question

已知函數，

（Ⅰ）若，求函數的極值；

（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若在區間（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）時，有極小值，極小值為1.

（2）， 在上為增函數；

，時單調減區間為；單調增區間為

（3）＞或

【解析】

試題分析：解： （Ⅰ）當 時，  ，定義域為，

，當時，；當時，.

所以單調減區間為；單調增區間為，

故時，有極小值，極小值為1.                     3分

（Ⅱ），則

，       4分

因為所以令得.

若，即，則恒成立，則在上為增函數；

若，即，則時，，時，

所以此時單調減區間為；單調增區間為           7分

(Ⅲ)由第（Ⅱ）問的解答可知只需在上存在一點，使得.

若時，只需,解得,又,所以滿足條件. 8分

若,即時，同樣可得,不滿足條件.        9分

若，即時，在處取得最小值，        10分

令，

即，所以              11分

設，考察式子,由,所以左端大于1,而右端小于1，所以不成立.

當，即時，在上單調遞減，只需得

＞，又因為，所以，＞或         12分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了運用導數研究函數單調性以及極值和最值的運用，屬于中檔題。