Question

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，

（1）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設(shè)，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）b=0；（2）；（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，使得是以（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．

【解析】

試題分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

			0
			0		0
			極小值		極大值

由，，，

即最大值為，．        ………………………………5分

（2）由，得．

，且等號(hào)不能同時(shí)取，，

恒成立，即．      ………………………………7分

令，求導(dǎo)得，，

當(dāng)時(shí)，，從而，

在上為增函數(shù)，，． …………………10分

（3）由條件，，

假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，

不妨設(shè)，則，且．

是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

， ，

是否存在等價(jià)于方程在且時(shí)是否有解．   …………………12分

①若時(shí)，方程為，化簡(jiǎn)得，

此方程無解；

②若時(shí)，方程為，即，

設(shè)，則，

顯然，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，

的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040920054960939049/SYS201304092006289843452093_DA.files/image066.png">，即，

當(dāng)時(shí)，方程總有解．

對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，使得是以（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．………………16分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解此類題時(shí)要注意對(duì)數(shù)式對(duì)函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合.