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已知拋物線C：y²=4x，動直線l：y=k（x+1）與拋物線C交于A，B兩點，O為原點．
（1）求證： $數學公式$ 是定值；
（2）求滿足 $數學公式$ 的點M的軌跡方程．

解：由 $\text{[math]}$ 得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．?
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．?
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂= $\text{[math]}$ -2，x₁x₂=1．?
（1）證明： $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）?
=（k²+1）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²?
=k²+1+k²（ $\text{[math]}$ ）+k²=5，?
∴ $\text{[math]}$ 為常數．?
（2）解： $\text{[math]}$ =（x₁+x₂，y₁+y₂）=（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．?
設M（x，y），則 $\text{[math]}$ 消去k得y²=4x+8．?
又∵x= $\text{[math]}$ ＞2，故M的軌跡方程為y²=4x+8（x＞2）．
分析：（1）由題意知k²x²+（2k²-4）x+k²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂= $\text{[math]}$ -2，x₁x₂=1. $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=k²+1+k²（ $\text{[math]}$ ）+k²=5，所以 $\text{[math]}$ 為常數．?
（2） $\text{[math]}$ =（x₁+x₂，y₁+y₂）=（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．?設M（x，y），則y²=4x+8．由此可知M的軌跡方程為y²=4x+8（x＞2）．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．

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如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F為拋物線C的焦點，A為拋物線C上的動點，過A作拋物線準線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點P（0，4）與點F的連線恰好過點A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設點M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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