Question

（本小題滿分12分）
設不等邊三角形ABC的外心與重心分別為M、G，若A(－1，0)，B(1，0)且MG//AB.
(Ⅰ) 求三角形ABC頂點C的軌跡方程；
(Ⅱ) 設頂點C的軌跡為D，已知直線過點（0，1）并且與曲線D交于P、N兩點，若O為坐標原點，
滿足OP⊥ON，求直線的方程.

Answer 1

（I）設C（x，y）（xy≠0）                              …………1分
∵MG∥AB，可設G（a ,b），則M（0，b）.                      
∴                     (1)                    …………3分
∵M是不等邊三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，
即          （2）                  …………4分
由（1）（2）得.
所以三角形頂點C的軌跡方程為.        …………6分
（II）設直線l的方程為，，，
由消y得。                …………8分
∵直線l與曲線D交于P、N兩點，∴△=，
又，。
∵，∴，∴ …………6分
∴，∴。         …………11分
∴直線l的方程為。                            …………12分

解析